题目内容
如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2| 3 |
| 10 |
①三棱锥O-ABC的体积是定值；
②直线AD与OB所成的角是60°；
③球面经过点A、B、C、D两点的球的直径是
| 13 |
④直线OB∥平面ACD．
其中正确的结论是
考点：命题的真假判断与应用
专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角
分析：构造长方体，设OA=x，OB=y，OC=z，则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=
，z=3，运用棱锥的体积公式，即可判断①；运用异面直线所成角的定义，即可判断②；球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即可判断③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判断④．
| 3 |
解答：
解：构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，
则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=
，z=3，
对于①，三棱锥O-ABC的体积为
OC•S△OAB=
×3×
×1×
=
，故①对；
对于②，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，
由tan∠DAE=
，则∠DAE=60°，故②对；
对于③，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为
=
，故③对；
对于④，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故D错．
故答案为：①②③
解：构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=
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对于①，三棱锥O-ABC的体积为
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| 1 |
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| 2 |
对于②，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，
由tan∠DAE=
| 3 | ||
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对于③，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为
12+(
|
| 13 |
对于④，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故D错．
故答案为：①②③
点评：本题考查线面的位置关系的判断，空间异面直线所成的角，以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
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