Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x的定义域为[-2，t]，设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：m＜n；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²；又若方程

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²；在（-2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导得f′（x）=（2x-3）•e^x+（x²-3x+3）•e^x=x（x-1）e^x，从而可得f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，从而确定t的取值范围；
（2）借助（1）可知，f（x）在x=1处取得极小值e，求出f（-2）=m=

13

e2

＜e，则f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），从而得证；
（3）化简

f′(x0)

ex0

=

x

2 0

-x₀，从而将

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²化为

x

2 0

-x₀=

2

3

（t-1）²，令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，则证明方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=（2x-3）•e^x+（x²-3x+3）•e^x=x（x-1）e^x，
由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；
由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；
∴f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
欲f（x）在[-2，t]上为单调函数，
则-2＜t≤0；
∴t的取值范围为（-2，0]．
（2）证明：∵f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
∴f（x）在x=1处取得极小值e，
又∵f（-2）=m=

13

e2

＜e=f（1），
∴f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2）．
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n；
（3）证明：∵

f′(x0)

ex0

=

x

2 0

-x₀，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²可化为

x

2 0

-x₀=

2

3

（t-1）²，
令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，
则证明方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解，并讨论解的个数．
∵g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

（t+2）（t-4），
g（t）=t（t-1）-

2

3

（t-1）²=

1

3

（t+2）（t-1），
①当t＞4或-2＜t＜1时，
g（-2）•g（t）＜0，则方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有且只有一解；
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，
又∵g（0）=-

2

3

（t-1）²＜0，
∴方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解，且有两解；
③当t=1时，g（x）=x²-x=0，
从而解得，x=0或x=1，
故方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有且只有一解；
④当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，
从而解得，x=-2或x=3，
故方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有且只有一解；
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²；
当方程

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²在（-2，t）上有唯一解时，t的取值范围为（-2，1]∪[4，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于难题．