题目内容
下列命题正确的是 （写序号）
①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x；
②函数 f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π”是“a=1”的必要不充分条件；
③x2+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；
④”平面向量
与
的夹角是钝角“的充分必要条件是“
•
＜0”
①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x；
②函数 f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π”是“a=1”的必要不充分条件；
③x2+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；
④”平面向量
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：命题的真假判断与应用
专题：函数的性质及应用
分析：①利用特称命题的否定是全称命题，写出命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定，可判断①；
②利用二倍角的余弦公式及余弦函数的周期公式，结合充分必要条件的概念可判断②；
③利用等价转化思想与恒成立问题，可知x2+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(
)min（x∈[1，2]），从而可判断③；
④利用向量的数量积的坐标运算及充分必要条件的概念可判断④．
②利用二倍角的余弦公式及余弦函数的周期公式，结合充分必要条件的概念可判断②；
③利用等价转化思想与恒成立问题，可知x2+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(
| x2+2x |
| x |
④利用向量的数量积的坐标运算及充分必要条件的概念可判断④．
解答：
解：对于①，命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x，故①正确；
对于②，∵函数f（x）=cos2ax-sin2ax=cos2ax的最小正周期为T=
=π，
∴|a|=1，解得a=±1，即f（x）的最小正周期为“π”不能⇒“a=1”，充分性不成立；
反之，若a=1，则函数f（x）的最小正周期为π，必要性成立，
∴函数 f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π是“a=1”的必要不充分条件，故②正确；
对于③，x2+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(
)min（x∈[1，2]），或者是当x∈[1，2]时，函数y=x2+2x的图象恒不在y=ax的图象的下方，而不是（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立，故③错误；
全称命题的否定是特称命题，写出命题：“?x∈R，x3-x2+1≤0”的否定，可判断③；
对于④，若平面向量
与
的夹角是钝角，则
•
＜0，必要性成立；
反之，若
•
＜0，则平面向量
与
的夹角是钝角或π，即充分性不成立，故④错误．
综上所述，正确的命题为：①②．
故答案为：①②．
对于②，∵函数f（x）=cos2ax-sin2ax=cos2ax的最小正周期为T=
| 2π |
| 2|a| |
∴|a|=1，解得a=±1，即f（x）的最小正周期为“π”不能⇒“a=1”，充分性不成立；
反之，若a=1，则函数f（x）的最小正周期为π，必要性成立，
∴函数 f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π是“a=1”的必要不充分条件，故②正确；
对于③，x2+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(
| x2+2x |
| x |
全称命题的否定是特称命题，写出命题：“?x∈R，x3-x2+1≤0”的否定，可判断③；
对于④，若平面向量
| a |
| b |
| a |
| b |
反之，若
| a |
| b |
| a |
| b |
综上所述，正确的命题为：①②．
故答案为：①②．
点评：本题考查考查正弦定理、二倍角的余弦公式及余弦函数的周期公式等基本知识，考查充分必要条件的概念及全称命题与特称命题之间的关系，考查等价转化思想，属于中档题．
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