Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E，F分别为棱CC₁，BB₁的中点．
（1）求三棱锥E-ABC的体积．
（2）求证：平面AFC∥平面B₁DE．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用三棱锥E-ABC的体积公式，即可得出结论；
（2）由E、F是CC₁、BB₁的中点，易得AF∥ED，CF∥B₁E，从而平面ACF∥面B₁DE．

解答： 解：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点，
∴三棱锥E-ABC的体积为V=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

；
（2）证明：∵E、F是CC₁、BB₁的中点，∴CE平行且等于B₁F
∴四边形B₁FCE是平行四边形，
∴CF∥B₁E．
∵E，F是CC₁、BB₁的中点，∴EF平行且等于BC，
又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，
∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B₁DE．

点评：本题主要考查三棱锥E-ABC的体积和面面平行的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．