Question

如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，下列判断中：
①对于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH；
②存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；
③对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点或相互平行；
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．
其中正确的个数是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：作图题,探究型,空间位置关系与距离

分析：①分别取AC、BD的中点J、I，利用线面平行的性质可知AD与BC到平面IEJF的距离相等，从而可判断①；
②，当点G在BC上移动时，点H在AD之间移动，可判断②；
③，G、H分别为相应线段中点时，三线平行，若G、H不是相应线段中点时，三线相交于一点，可判断③；
④，当H为D，G为C时，此时几何体的体积为三棱锥A-CDE的体积，为该四面体体积的一半，结合①的结论，可判断④．

解答： 解：对于①，分别取AC、BD的中点J、I，则BC∥平面MENF，AD∥平面IEJF，且AD与BC到平面IEJF的距离相等，因此对于任意的α，都有S_△EFG=S_△EFH，故①正确；

对于②，当点G与点B重合时，点H与点A重合，当点G与点C重合时，点H与点D重合，故当点G在BC上移动时，点H在AD之间移动，故不存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上，即②错误；
对于③，G、H分别为相应线段中点时，三线平行，若G、H不是相应线段中点时，三线相交于一点，即对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点或相互平行，③正确；
对于④，当H为D，G为C时，此时几何体的体积为三棱锥A-CDE的体积，为该四面体体积的一半，

如图，只需证V_C-EFG=V_D-EFH，由①知，只需证C、D到截面的距离相等，
∵F为CD的中点，
∴C、D到截面的距离相等，故几何体AC-EGFH的体积是一个定值，即④正确；
综上所述，正确的为①③④，有3个，
故选：B．

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查共面定理、三角形的中位线定理、考查作图能力与分析、推理能力，空间想象能力，属于难题．