Question

已知函数f（x）=a•4^x-2^x+1-a．
（1）若a=0，解方程f（2x）=-4；
（2）若函数f（x）=a•4^x-2^x+1-a在[1，2]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）代入a=0，从而求解方程；
（2）令t=2^x，x∈[1，2]，则t∈[2，4]；a=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

，令g（t）=t-

1

t

，从而求解a．

解答： 解：（1）由题意，f（2x）=-2^2x+1=-4，
解得，x=

1

2

．
（2）令t=2^x，x∈[1，2]，则t∈[2，4]；
由题意，at²-2t-1=0在[2，4]上有零点，
a=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

，令g（t）=t-

1

t

，
则g（t）在[2，4]上为增函数．
则g（t）∈[

3

2

，

15

4

]，从而a∈[

8

15

，

4

3

]．

点评：本题考查了函数的零点的解法，属于基础题．