Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等边三角形，M、N分别为BC、PD的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）若MN⊥PD，求二面角P-AD-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PC中点Q，可证面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；
（2）取AD中点O，PO⊥AD，MO⊥AD，∠POM是二面角P-AD-C平面角，解三角形得二面角P-AD-C的余弦值．

解答： 证明：（1）取PC中点Q，连接QN，QM，如下图所示：

∵M、N分别为BC、PD的中点．
∴QM∥PB，
又∵QM?平面PAB，PB?平面PAB，
∴QM∥平面PAB，
同理QN∥平面PAB，
∵QM∩QN=Q，QM，QN?平面NQM
∴平面NQM∥平面PAB，
又∵MN?平面NQM
∴MN∥面PAB；
解：（2）取AD中点O，连接OP，OM，

∵△PAD是等边三角形，
∴PO⊥AD，
∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴MO⊥AD，
∴∠POM是二面角P-AD-C平面角，
∵BC=CD=2AB=2，
∴AD=

3

，MB=MC=1，∠BCD=

π

3

，
∴MD=

3

，PO=

3

2

×

3

=

3

2

，
又∵MN⊥PD，
∴PM=MD=

3

，MO=

3

2

，
由余弦定理得：cos∠POM=

1

3

．
故二面角P-AD-C的余弦值为

1

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定与性质，难度中档．