Question

设F₁、F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

• A、x±

  2

  y=0
• B、

  2

  x±y=0
• C、x±2y=0
• D、2x±y=0

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|＞|PF₂|，由已知条件求出|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，e=

3

，进而求出b=

2

a，由此能求出双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程．

解答： 解：设|PF₁|＞|PF₂|，则|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a．
则∠PF₁F₂是△PF₁F₂的最小内角为30°，
∴|PF2|²=|PF1|²+|F1F2|²-2|PF1|•|F1F2|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2c×

3

2

，
同时除以a²，化简e²-2

3

e+3=0，
解得e=

3

，∴c=

3

a，
∴b=

3a2-a2

=

2

a，
∴双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x=±

2

x，
即

2

x±y=0．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．