Question

4．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，焦距是实轴长的$\sqrt{2}$倍且过点（4，-$\sqrt{10}$）
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（3）在（2）条件下，若M F₂交双曲线另一点N，求△F₁MN的面积．

Answer 1

分析 （1）求出离心率e，故可等轴设双曲线的方程为x²-y²=λ（λ≠2），过点（4，-$\sqrt{10}$），可得16-10=λ，即可求双曲线方程；
（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论．
（3）利用M与F₂可得直线方程，求出N的纵坐标，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）∵焦距是实轴长的$\sqrt{2}$倍，
∴e=$\sqrt{2}$，故可等轴设双曲线的方程为x²-y²=λ（λ≠2），
∵过点（4，-$\sqrt{10}$），∴16-10=λ，
∴λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6．
（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=$\sqrt{6}$，∴c=2$\sqrt{3}$．
∴F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-3，-m），
$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-3，-m）．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=+m²=-3+m²．
∵M点在双曲线上，∴9-m²=6，∴m²=3．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0．
∴点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（3）由（2）不妨M（3，$\sqrt{3}$），F₂（2$\sqrt{3}$，0），直线M F₂的方程为：y=（-2-$\sqrt{3}$）（x-2$\sqrt{3}$），代入双曲线方程可得：
消去x可得：（6-4$\sqrt{3}$）y²-4$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）y+6=0，因为M的纵坐标为$\sqrt{3}$，所以N的纵坐标为：y₂•$\sqrt{3}{y}_{2}=\frac{6}{6-4\sqrt{3}}$，
解得y₂=-（2+$\sqrt{3}$），
△F₁MN的面积为：$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×（\sqrt{3}+2+\sqrt{3}）$=12+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．