Question

19．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N*）．若{a_n}是各项为正数的等比数列，且a₁=2，b₃=b₂+3．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N*），b₃=b₂+3，知${a_3}={2^{{b_3}-{b_2}}}={2^3}$又由a₁=2，得公比q，可得数列{a_n}的通项a_n．进而得出b_n．
（Ⅱ）${c_n}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2^n}-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）（n∈{N^*}）$，利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N*），b₃=b₂+3
知${a_3}={2^{{b_3}-{b_2}}}={2^3}$又由a₁=2，得公比q=2（q=-2，舍去） …（3分）
所以数列{a_n}的通项为${a_n}={2^n}（n∈{N^*}）$…（4分）
所以${a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}={2^{\frac{n（n+1）}{2}}}$
故数列{b_n}的通项为${b_n}=\frac{n（n+1）}{2}（n∈{N^*}）$…（6分）
（Ⅱ）${c_n}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2^n}-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）（n∈{N^*}）$…（8分）
$\begin{array}{l}{S_n}=（{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…\frac{1}{2^n}}）-2（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）\\=\frac{{\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2^n}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-2（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{2}{n+1}-\frac{1}{2^n}-1\end{array}$

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．