Question

点G是△OAB的重心，过G任作直线PQ分别交OA、OB于点P、Q，若

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

，mn≠0，则

1

m

+

1

n

=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由于三点P，G，Q共线，由向量共线定理可得：存在实数λ满足：

OG

=λ

OP

+(1-λ)

OQ

．利用点G是△OAB的重心，可得

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)，再利用平面向量基本定理即可得出．

解答： 解：如图所示，
由于三点P，G，Q共线，
∴存在实数λ满足：

OG

=λ

OP

+(1-λ)

OQ

，
∵点G是△OAB的重心，
∴

OG

=

2

3

OC

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

(

OA

+

OB

)，
又∵

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

，mn≠0，
∴

1

3

OA

+

1

3

OB

=λm

OA

+(1-λ)n

OB

，
由于

OA

，

OB

不共线，
∴

λm= 1 3 (1-λ)n= 1 3

，
∴

1

m

+

1

n

=3λ+3（1-λ）=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了向量共线定理、重心定理、平面向量基本定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．