Question

18．已知cosx＞1+ax²对x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，则a的取值范围$a≤-\frac{4}{{π}^{2}}$．

Answer 1

分析 把a分离出来，然后用导数，判断单调性从而求出最值．

解答 解：∵$\frac{cosx-1}{{x}^{2}}＞a$在$（0，\frac{π}{2}）$恒成立
∴$f（x）=\frac{cosx-1}{{x}^{2}}$$；{f}^{′}（x）=\frac{-[xsinx+2（1-cosx）]}{{x}^{3}}$；
∵xsinx＞0，1-cosx＞0
∴f′（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减．
$f（x）_{min}=f（\frac{π}{2}）=-\frac{4}{{π}^{2}}$
即有a$≤-\frac{4}{{π}^{2}}$．
故答案为：a$≤-\frac{4}{{π}^{2}}$．

点评 本题主要考察了导数的综合应用，考察了转化思想，属于中档题