Question

13．设函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2mlnx（m∈R），讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导数，结合二次函数的性质判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间．

解答 解：函数f（x）的定义域（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2mx+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x²-2mx+1，
△=4m²-4=4（m²-1），
当△＞0即m＞1或m＜-1时，方程h（x）=0有两个根，
设方程x²-2mx+1=0的两根是：x₁，x₂，且x₁＜x₂，
解得：x₁=m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，x₂=m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
当△≤0时，即m∈[-1，1]时，f′（x）≥0，原函数在定义域上单调递增，
当m＜-1时，△＞0，两根均为负，f（x）在定义域上单调递增，
当m＞1时，△＞0，两根均为正，
故f（x）在区间（0，m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$），（m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，+∞）递增，在（m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$）递减．

点评 题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．