Question

9．如图，已知D为以AB为斜边的Rt△ABC的外接圆O上一点，CE⊥AB，BD交AC，CE的交点分别为F，G，且G为BF中点，
（1）求证：BC=CD；
（2）过点C作圆O的切线交AD延长线于点H，若AB=4，DH=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，GF=GC，∠GFC=∠GCF，CE⊥AB，∠GCF=∠ABC，从而Rt△ADF∽Rt△ACB，由此能证明BC=CD．
（2）求出∠HDC=∠ABC，∠DCH=∠DAC=∠BAC，从而Rt△CDH∽Rt△ABC，由切割线定理，得HC²=HD•AH=HD（AD+DH），由此能求出AD．

解答 证明：（1）由题意知AB为圆的直径，则AC⊥BC．
又∵G为BF中点，∴GF=GC，∠GFC=∠GCF．…（2分）
由CE⊥AB，知$∠GCF=\frac{π}{2}-∠CAE$，$∠ABC=\frac{π}{2}-∠CAE$，
∴∠GCF=∠ABC，则Rt△ADF∽Rt△ACB，∴∠DAC=∠BAC，
∴BC=CD，即BC=CD．…（4分）
解：（2）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠HDC=∠ABC，
又∵CH为O的切线，∴∠DCH=∠DAC=∠BAC，…（6分）
∴Rt△CDH∽Rt△ABC，∴$∠DHC=\frac{π}{2}$，且$\frac{BC}{DH}=\frac{AB}{CD}$．…（7分）
由（1）知BC=CD，且AB=4，DH=1，
∴CD=2，CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$．…（8分）
由切割线定理，得HC²=HD•AH=HD（AD+DH），
即（$\sqrt{3}$）²=1×（1+AD），解得AD=2．…（10分）

点评 本题考查线段相等的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、切割线定理的合理运用．