Question

10．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，DC=3，AB=2，AD=1，AE=EB，DF=1，现把它沿FE折起，得到如图所示几何体，连接DB，AB，DC，使DC=$\sqrt{5}$，
（1）求证：面DBC⊥面DFB；
（2）判断是否在DC上存在一点H，使二面角E-BH-C的余弦值为-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，若存在，确定点H的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出DF⊥FC，DF⊥BC，BC⊥BF，从而BC⊥面BDF，由此能证明面DBC⊥面DFB．
（2）分别以EF，FC，FD为x，y，z轴建立，空间直角坐标系F-xyz，利用向量法能求出当H为CD的中点时，二面角E-BH-C的余弦值为-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

解答 证明：（1）∵$DF=1，FC=2，DC=\sqrt{5}$，
∴DF²+FC²=DC²，∴DF⊥FC，
又∵DF⊥EF，∴DF⊥面EBCF，DF⊥BC，
在直角△EBF中，BE²+EF²=1+1=BF²，
BC²=2，FC²=BF²+BC²，∴BC⊥BF，
∴BC⊥面BDF，
∵BC?平面BDC，∴面DBC⊥面DFB．
解：（2）分别以EF，FC，FD为x，y，z轴建立，空间直角坐标系F-xyz，
则E（1，0，0），D（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），
设$\overrightarrow{GH}=λ\overrightarrow{CD}（0≤λ≤1）$，H（x，y，z），
则（x，y-2，z）=λ（0，-2，1），（x，y-2，z）=λ（0，-2，1）
∴H（0，2-2λ，λ），$\overrightarrow{EH}=（-1，2-2λ，λ），\overrightarrow{BH}=（-1，1-2λ，λ），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，
设面EBH的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），面BHC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{EH}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{BH}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}+（2-2λ）{y_1}+λ{z_1}=0}\\{-{x_1}+（1-2λ）{y_1}+λ{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（λ，0，1）．
$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BH}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{-{x_2}+{y_2}=0}\\{-{x_2}+（1-2λ）{y_2}+λ{z_2}=0}\end{array}}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵二面角E-BH-C的余弦值为-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，∴$|{\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}}|=\frac{{\sqrt{30}}}{6}，|{\frac{λ+2}{{\sqrt{1+1+{2^2}}•\sqrt{{λ^2}+1}}}}|=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴当H为CD的中点时，二面角E-BH-C的余弦值为-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．