Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：（a+c）（sinA-sinC）=sinB（a-b）
（I）求角C的大小；
（II）若c=2，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用正弦正理化简已知等式可得：a²+b²-c²=ab，由余弦定理可得求得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，即可求得A的值．
（II）由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入a+b利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+b的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）在△ABC中，∵（a+c）（sinA-sinC）=sinB（a-b），
∴由正弦定理可得：（a+c）（a-c）=b（a-b），即a²+b²-c²=ab，…（3分）
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由C为三角形内角，C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（II）  由（I）可知2R=$\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…（7分）
∴a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（A+$\frac{π}{3}$）]
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．…（10分）
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴2＜4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4
∴a+b的取值范围为（2，4]．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题．