Question

3．已知函数f（x）=e^xlnx-ae^x（a∈R）．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=$\frac{1}{e}$x+1垂直，求a的值；
（2）若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，根据f′（1）=-e，求出a的值即可；
（2）问题转化为a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$，令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，通过求导得到g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-a），（x＞0），直线y=$\frac{1}{e}$x+1的斜率是：$\frac{1}{e}$，
∴f′（1）=e（1-a）=-e，解得：a=2；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，
则e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-a）≥0或e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-a）≤0，
即a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，则g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）_最小值=g（1）=1，无最大值；
故a≤1，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，曲线的切线方程问题，是一道中档题．