Question

已知向量

a

=（2sin（x+

π

12

），cos（x-

π

12

），

b

=（cos（x+

π

12

），2sin（x-

π

12

）），函数f（x）=

a

•

b

-2cos2x；
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向左平移

π

4

个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，当x∈[0，

π

2

]时，求y=g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用向量数量积的坐标运算与三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，从而可求f（x）的最小正周期；
（2）易求g（x）=f（x+

π

4

）-1=

3

sin（2x+

π

3

）-2，x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的单调性与最值，可求得y=g（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-2cos²x
=2sin（x+

π

12

）•cos（x+

π

12

）+2sin（x-

π

12

）•cos（x-

π

12

）-2cos²x
=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-2cos²x
=

3

sin2x-cos2x-1
=2sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）g（x）=f（x+

π

4

）-1
=

3

sin[2（x+

π

4

）-

π

6

]-1-1
=

3

sin（2x+

π

3

）-2，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴g（x）∈[-

7

2

，

3

-2]，
∴g（x）_max=

3

-2，g（x）_min=-

7

2

．

点评：本题考查向量数量积的坐标运算与三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性、单调性与最值，属于中档题．