Question

已知奇函数f（x）=

b-2x

2x+1+a

定义域为R，其中a，b为常数．
（1）求a，b的值；
（2）若函数g（x）=log₂（bx²-3x+m）（m∈R）的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,对数函数的定义域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）为奇函数得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出a，b，再检验f（x）为奇函数即可；
（2）由（1）得g（x）=log₂（x²-3x+m），又知其定义域为R，只要求x²-3x+m＞0，恒成立即可，即△＜0即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

即

b-1 2+a =0 b-2-1 1+a =- b-2 4+a

，
解得

a=2 b=1

，此时f（x）=

1-2x

2x+1+2

，经检验可得f（-x）=-f（x），
故a=2，b=1．
（2）由（1）得g（x）=log₂（x²-3x+m）
∵函数g（x）=log₂（x²-3x+m）的定义域为R，
∴x²-3x+m＞0，恒成立即可，
∴△=9-4m＜0，
∴m＞

9

4

，
故m取值范围为（

9

4

，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查奇函数的性质，函数的恒成立的问题，属于基础题．