Question

已知在数列{a_n}中，a₁=-1，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）（n≥2，n∈N₊）．
（1）求证：数列{a_n-a_n-1}是等差数列；
（2）若a_n≥100，求正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）转化已知条件为：（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，即可判断数列{a_n-a_n-1}是等差数列．
（2）利用累加法求出数列的通项公式，结合不等式即可求出正整数n的最小值．

解答： 解：（1）因为a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）可化为（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
所以数列{a_n-a_n-1}是一个首项为a₂-a₁=3，公差为2的等差数列.4分
（2）由（1）知a_n-a_n-1=3+2（n-2）=2n-1，
所以（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）=a_n-a₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3，
所以a_n=-1+3+…+（2n-1）=-2+[1+3+…+（2n-1）]
=-2+

n[1+(2n-1)]

2

=n²-2（n≥2，n∈N₊）．
因为1²-2=-1=a₁，所以a₁也适合a_n=n²-2，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-2．
令n²-2≥100，解得n≥11，故n的最小值是11.12分．

点评：本题考查递推关系式的应用，等差数列的判断，数列与不等式相结合，考查分析问题解决问题的能力．