Question

椭圆

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0），参数φ的范围是（0≤φ＜2π）的两个焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且|F₁F₂|=4，则a等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先将椭圆参数方程化为普通方程，可设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连接AF₂，再由题设条件可知|AF₁|=

1

2

|F₁F₂|，∠F₁AF₂=90°，由|F₁F₂|=4，即c=2，由勾股定理求出|AF₂|，再由椭圆的定义求出a即可．

解答： 解：椭圆

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0），可化为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如图设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连AF₂，
由题设条件知|AF₁|=

1

2

|F₁F₂|=c，∠F₁AF₂=90°，又|F₁F₂|=4，
即2c=4，c=2，则|AF₁|=2，
|AF₂|=

F1F22-AF12

=

42-22

=2

3

，
由椭圆的定义知，|AF₁|+|AF₂|=2a，则2a=2+2

3

，
∴a=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题主要考查椭圆的参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的简单性质和应用，解题时要注意运用定义，是快速解题的关键，本题属于基础题．