Question

数列a₀，a₁，a₂，…，满足：a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

（[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分和分数部分），则a₂₀₁₂=

 

．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：利用a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

，

3

=1+(

3

-1)，可得a₁=1+

1

3 -1

=1+

3 +1

2

=2+

3 -1

2

，a₂=2+

1

3 -1 2

=2a₁=4+(

3

-1)，…，通过观察分析，利用等差数列的通项公式得出规律：a_2n+1=2+3n+

3 -1

2

，a_2n+2=4+3n+(

3

-1)．进而得出．

解答： 解：∵a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

，

3

=1+(

3

-1)，
∴a₁=1+

1

3 -1

=1+

3 +1

2

=2+

3 -1

2

，
a₂=2+

1

3 -1 2

=2a₁=4+(

3

-1)，
a3=4+

1

3 -1

=4+

3 +1

2

=5+

3 -1

2

，
a4=7+(

3

-1)，
a₅=8+

3 -1

2

，
a6=10+(

3

-1)，
…，
∴a_2n+1=2+3n+

3 -1

2

，
a_2n+2=4+3n+(

3

-1)．
∴a₂₀₁₂=a_2×1005+2=4+3×1005+(

3

-1)
=3019+(

3

-1)．
故答案为：3018+

3

．

点评：本题考查了通过观察分析归纳出规律、新定义、等差数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．