题目内容
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（b+c-a）（b+c+a）=3bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB、sinA、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB、sinA、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．
考点：余弦定理,三角形的形状判断
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）直接通过已知条件，利用余弦定理求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；
（Ⅱ）通过sinB、sinA、sinC成等比数列，利用正弦定理，得到abc关系，结合已知条件，求出b=c，即可判断△ABC的形状．
（Ⅱ）通过sinB、sinA、sinC成等比数列，利用正弦定理，得到abc关系，结合已知条件，求出b=c，即可判断△ABC的形状．
解答：
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知（b+c-a）（b+c+a）=3bc得．cosA=
=
=
，…（4分）
∵A是三角形的内角，∴A=
．
（Ⅱ）sinB、sinA、sinC成等比数列，
所以sin2A=sinBsinC，
由正弦定理可得：a2=bc，
又b2+c2=a2+bc，
∴b2+c2=2bc，
可得b=c，又a2=bc，所以a=b=c
△ABC是正三角形．
解：（Ⅰ）由已知（b+c-a）（b+c+a）=3bc得．cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| bc |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
∵A是三角形的内角，∴A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）sinB、sinA、sinC成等比数列，
所以sin2A=sinBsinC，
由正弦定理可得：a2=bc，
又b2+c2=a2+bc，
∴b2+c2=2bc，
可得b=c，又a2=bc，所以a=b=c
△ABC是正三角形．
点评：本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．
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