Question

国家环保部于2012年发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
（0，25]，4天；（25，50]，10天；（50，75]，4天；（75，100），2天
（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的6天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的4天记为A₁，A₂，A₃，A₄，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的2天记为B₁，B₂．6天任取2天的基本事件空间含15个基本事件，其中符合条件的有有8个，由此能求出恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率．
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为42.5．（微克/立方米），因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，从而得到该居民区的环境需要改进．

解答： 解：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的4天记为A₁，A₂，A₃，A₄，
PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的2天记为B₁，B₂．
所以6天任取2天的基本事件空间Ω={A₁A₂，A₁A₃，A₁A₄，A₂A₃，
A₂A₄，A₃A₄，A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，A₄B₁，A₄B₂，B₁B₂}，
共15种…（4分），
其中符合条件的有：
A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₄B₁，A₄B₂共8种．…（6分）
所以所求的概率P=

8

15

．…（8分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：
12.5×0.2+37•5×0.5+62.5×0.2+87.5×0.1=42.5．（微克/立方米）．…（10分）
因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．…（12分）

点评：本题考查概率的求法及其应用，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．