Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺）．
（1）证明：数列{log₂（a_n+1）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

1

an

+

1

an+2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得log₂（a_n+1+1）=log₂（a_n+1）²=2log₂（a_n+1），log₂（a₁+1）=log₂3，由此能证明数列{log₂（a_n+1）}是首项为log₂3，公比为2的等比数列，从而求出an=32n-1-1．
（2）由a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺），两边取对数，得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，从而

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，进而b_n=2（

1

an

-

1

an+1

），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺），
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴log₂（a_n+1+1）=log₂（a_n+1）²=2log₂（a_n+1），
∴

log2(an+1+1)

log2(an+1)

=2，
又log₂（a₁+1）=log₂3，
∴数列{log₂（a_n+1）}是首项为log₂3，公比为2的等比数列，
∴log₂（a_n+1）=log₂3•2^n-1，
∴an+1=32n-1，
∴an=32n-1-1．
（2）解：∵a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺），
两边取对数，得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，
即

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
∵b_n=

1

an

+

1

an+2

，∴b_n=2（

1

an

-

1

an+1

），
∴S_n=2[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）]
=2（

1

a1

-

1

an+1

）
=1-

2

32n-1

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．