Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=3，PB=PD=3

2

，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-CE-D的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？如果存在，指出F的位置，如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，判断出AB=AD=AC=3，进而在△PAB中，推断出PA²+AB²=PB²，可知PA⊥AB，同理也可证明出PA⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理推断出PA⊥平面ABCD．
（2）运用空间向量的数量积求解：平面ACE的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁）；平面CDE的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂）；再运用法向量的数量积求解即可，判定是钝角还是锐角．
（3）假设在棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC，

CF

=λ

CP

，

BF

=（-

3

2

-

3λ

2

，

3 3

2

-

3 3

2

λ，3λ），利用

n1

•

BF

=0，求解即可．

解答： （1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=3，
∴AB=AD=AC=3，
∵PB=PD=3

2

，
∴根据勾股定理：PB²=AP²+AB²，PD²=AP²+AD²，
∴∠PAB=∠PAD=90°，
即AP⊥AB，AP⊥AD，
∵AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD；
（2）以AB为x轴，以过A点CD的垂直平分线为y轴，以AP为z轴，建立空间坐标系．
∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=3，PB=PD=3

2

，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
根据已知条件可得：A（0，0，0），C（

3

2

，

3 3

2

，0），D（-

3

2

，

3 3

2

，0），P（0，0，3），E（-1，

3

，1）

CE

=（-

5

2

，-

3

2

，1），

AC

=（

3

2

，

3 3

2

，0），

CD

=（-3，0，0），
平面ACE的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁）；平面CDE的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂）；
∴

n1 • CE =0 n1 • AC =0

，

n2 • CE =0 n2 • CD =0

n1

=（

3

，-1，2

3

），

n2

=（0，2，

3

），

n1

•

n2

=-2+6=4，
cos＜

n1

•

n2

＞=

4

4× 7

=

7

7

．
∵二面角A-CE-D是钝二面角，
∴二面角A-CE-D的余弦值-

7

7

；
（3）假设在棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC，
∵

CF

=λ

CP

，

BF

=

BC

+

CF

=

AD

+

CF

，

BC

=

AD

=（-

3

2

，

3 3

2

，0），
∴

CF

=λ（-

3

2

，-

3 3

2

，3），

3

（　　）
∴

BF

=（-

3

2

-

3λ

2

，

3 3

2

-

3 3

2

λ，3λ），
∵BF∥平面AEC，
∴

n1

•

BF

=0，
∴

3

（-

3

2

-

3λ

2

）-（

3 3

2

-

3 3

2

λ）+2

3

×（3λ）=0，
λ=

1

2

∴存在F点，F为CP中点，使得BF∥平面AEC

点评：本题考察空间几何体的直线平面的位置关系的判定，运用空间向量求解面面角，判定平行问题，属于难题，注意坐标点准确求解．