Question

设函数f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）．讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：导数的概念及应用

分析：求导并令导数等于零，解方程，跟据f′（x），f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间．

解答： 解：f（x）=x-

1

x

-alnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①当-2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＜-2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x_1⁼

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0；
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；
当x＞x₂时，f′（x）＞0；
故f（x）分别在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上单调递增，
在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上单调递减．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法．