题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有an＞0，且点（a13+a23+…+an3，Sn）（n∈N*）在函数y=
的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：2 an=
+
+
+…+
，求数列{bn}的前n项和Tn．
| x |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：2 an=
| b1 |
| 2-1 |
| b2 |
| 22-1 |
| b3 |
| 23-1 |
| bn |
| 2n-1 |
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知得Sn=
，从而an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a1+a2+…+an）2，进而an+12-an2=an+1+an，由此能推导出数列{an}是首项为l，公差为l的等差数列，求出an=n．
（2）由2 an=2n=
+
+
+…+
，得2n-1=
+
+
+…+
，由此能求出bn=2n-1（2n-1）．
| a13+a23+…+an3 |
（2）由2 an=2n=
| b1 |
| 2-1 |
| b2 |
| 22-1 |
| b3 |
| 23-1 |
| bn |
| 2n-1 |
| b1 |
| 2-1 |
| b2 |
| 22-1 |
| b3 |
| 23-1 |
| bn-1 |
| 2n-1-1 |
解答：
解：（1）由已知得Sn=
，
当n=1时，有a1=S1=
，
由an＞0，解得a1=1，
由Sn=
，
得a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+1）2，②
②-①，得an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a1+a2+…+an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1，③
同样有，an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，
所以an+1-an=l，
由于a2-a1=l，
即当n≥l时都有an+1-an=1，
所以数列{an}是首项为l，公差为l的等差数列，故an=n．
（2）∵2 an=2n=
+
+
+…+
，①
∴2n-1=
+
+
+…+
，②
①-②，得：
=2n-1，
∴bn=2n-1（2n-1）．
| a13+a23+…+an3 |
当n=1时，有a1=S1=
| a13 |
由an＞0，解得a1=1，
由Sn=
| a13+a23+…+an3 |
得a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+1）2，②
②-①，得an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a1+a2+…+an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1，③
同样有，an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，
所以an+1-an=l，
由于a2-a1=l，
即当n≥l时都有an+1-an=1，
所以数列{an}是首项为l，公差为l的等差数列，故an=n．
（2）∵2 an=2n=
| b1 |
| 2-1 |
| b2 |
| 22-1 |
| b3 |
| 23-1 |
| bn |
| 2n-1 |
∴2n-1=
| b1 |
| 2-1 |
| b2 |
| 22-1 |
| b3 |
| 23-1 |
| bn-1 |
| 2n-1-1 |
①-②，得：
| bn |
| 2n-1 |
∴bn=2n-1（2n-1）．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
练习册系列答案
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已知集合M={x|x2＞4}，N={x|
＜1}，则M∩N等于（ ）
| 2 |
| x |
| A、N | B、M |
| C、{x|x＞2} | D、{x|x＜-2} |