题目内容
为迎接2014年“马”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金a元，正确回答问题B可获奖金b元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生．
（Ⅰ）如果参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金a元的概率；
（Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．
（Ⅰ）如果参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金a元的概率；
（Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．
考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率
专题：概率与统计
分析：（1）随机猜对问题A的概率P1=
，随机猜对问题B的概率P2=
，利用概率的乘法公式可求参与者先回答问题A，恰好获得奖金a元的概率；
（2）参与者回答问题的顺序有两种，先回答问题A，再回答问题B．先回答问题B，再回答问题A，做出两种情况下的获胜的期望，进行比较，分类讨论．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
（2）参与者回答问题的顺序有两种，先回答问题A，再回答问题B．先回答问题B，再回答问题A，做出两种情况下的获胜的期望，进行比较，分类讨论．
解答：
解：随机猜对问题A的概率P1=
，随机猜对问题B的概率P2=
．…（2分）
（1）设参与者先回答问题A，且恰好获得奖金a元为事件M，则P（M）=P1(1-P2)=
×
=
，
即参与者先回答问题A，其恰好获得奖金a元的概率为
．…（4分）
（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
①先回答问题A，再回答问题B．参与者获奖金额ξ可取0，a，a+b，
则P（ξ=0）=1-P1=
，P（ξ=a））=P1(1-P2)=
×
=
，P（ξ=a+b）=P1P2=
，
∴Eξ=0×
+a×
+（a+b）×
=
+
②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额η，可取0，b，a+b，
则P（η=0）=1-P2=
，P（η=b）=（1-P1）P2=
，P（η=a+b）=P2P1=
．
∴Eη=0×
+b×
+（a+b）×
=
+
…（10分）
∴Eξ-Eη=
于是，当
＞
时，Eξ＞Eη，即先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；当
=
时，Eξ=Eη，两种顺序获奖的期望值相等；当
＜
时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．…（12分）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
（1）设参与者先回答问题A，且恰好获得奖金a元为事件M，则P（M）=P1(1-P2)=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
即参与者先回答问题A，其恰好获得奖金a元的概率为
| 1 |
| 4 |
（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
①先回答问题A，再回答问题B．参与者获奖金额ξ可取0，a，a+b，
则P（ξ=0）=1-P1=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 12 |
∴Eξ=0×
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 12 |
| a |
| 3 |
| b |
| 12 |
②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额η，可取0，b，a+b，
则P（η=0）=1-P2=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 12 |
∴Eη=0×
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 12 |
| a |
| 12 |
| b |
| 4 |
∴Eξ-Eη=
| 3a-2b |
| 12 |
于是，当
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查概率的计算，考查期望，期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数．
练习册系列答案
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如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）