题目内容
已知数列{an}（n=1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2-4x-4y=0，圆C2：x2+y2-2anx-2a2013-ny=0，若圆C2平分圆C1的周长，则{an}的所有项的和为 ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定
专题：直线与圆
分析：根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆心C1的圆心，得到an+a2013-n=4即可求出{an}的所有项的和
解答：
解：设圆C1与圆C2交于A，B，则直线AB的方程为：
x2+y2-4x-4y-（x2+y2-2anx-2a2013-ny）=0，
化简得：（an-2）x+（a2013-n-2）y=0，
∵圆C1：x2+y2-4x-4y=0的标准方程为圆（x-2）2+（y-2）2=8，
∴圆心C1：（2，2）．
又圆C2平分圆C1的周长，
则直线AB过C1：（2，2）．，
代入AB的方程得：2（an-2）+2（a2013-n-2）=0，
即an+a2013-n=4，
∴{an}的所有项的和为a1+a2+…+a2012=（a1+a2012）+（a2+a2011）+…+（a1006+a1007）=1006×4=4024．
故答案为：4024．
x2+y2-4x-4y-（x2+y2-2anx-2a2013-ny）=0，
化简得：（an-2）x+（a2013-n-2）y=0，
∵圆C1：x2+y2-4x-4y=0的标准方程为圆（x-2）2+（y-2）2=8，
∴圆心C1：（2，2）．
又圆C2平分圆C1的周长，
则直线AB过C1：（2，2）．，
代入AB的方程得：2（an-2）+2（a2013-n-2）=0，
即an+a2013-n=4，
∴{an}的所有项的和为a1+a2+…+a2012=（a1+a2012）+（a2+a2011）+…+（a1006+a1007）=1006×4=4024．
故答案为：4024．
点评：本题主要考查数列的前n项和的计算，利用两圆的关系求出公共弦的方程，并求出an+a2013-n=4是解决本题的关键，综合性较强．
练习册系列答案
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在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．已知集合M={x|
≥0，x∈R}，集合N={x||x|≤1，x∈R}，则M∩N=（ ）
| x |
| x+1 |
| A、{x|0＜x≤1} |
| B、{x|0≤x≤1} |
| C、{x1-1＜x≤1} |
| D、{x1-1＜x≤1} |
曲线y=ex+1在点A（0，1）处的切线斜率为（ ）
| A、1 | ||
| B、2 | ||
| C、e | ||
D、
|