题目内容
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
=cosC．
（1）求角B的大小；
（2）设
=（sinA，cos2A），
=（4k，1）（k＞0），且
•
的最大值是5，求k的值．
| (2a-c)cosB |
| b |
（1）求角B的大小；
（2）设
| m |
| n |
| m |
| n |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式即可得出；
（2）利用数量积运算、二次函数的单调性即可得出．
（2）利用数量积运算、二次函数的单调性即可得出．
解答：
解：（1）由已知利用正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA
∵sinA≠0，∴cosB=
．
∵B∈（0，π），∴B=
．
（2）
•
=4ksinA+cos2A=4ksinA+1-2sin2A，A∈(0，
)
令sinA=t，则
•
=f(t)=-2t2+4kt+1，t∈(0， 1]
对称轴为t=k＞0
①当0＜k≤1时，f(t)max=f(k)=-2k2+4k2+1=5
∴k=±
（舍）
②当k＞1时，f（t）max=f（1）=-2+4k+1=5
∴k=
综上，k=
．
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA
∵sinA≠0，∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∵B∈（0，π），∴B=
| π |
| 3 |
（2）
| m |
| n |
| 2π |
| 3 |
令sinA=t，则
| m |
| n |
对称轴为t=k＞0
①当0＜k≤1时，f(t)max=f(k)=-2k2+4k2+1=5
∴k=±
| 2 |
②当k＞1时，f（t）max=f（1）=-2+4k+1=5
∴k=
| 3 |
| 2 |
综上，k=
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、数量积运算、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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