Question

已知函数f（x）=x²-2ax-1
（Ⅰ）若a=1时，求f（x）在R上的值域；
（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）配方，求f（x）在R上的值域；
（Ⅱ）先配方得到函数的对称轴为x=a，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[0，2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值．

解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2
∴f（x）的值域为[-2，+∞）；
（Ⅱ）∵y=（x-a）²-a²-1
∴a＜0时，在区间[0，2]上单调递增，故y_min=-1；
0≤a≤2时，在对称轴处取最小值，故y_min=-a²-1；
a＞2时，在区间[0，2]上单调递减，故y_min=（2-a）²-a²-1=3-4a，
综合可得，a＜0时，y_min=-1，0≤a≤2时，y_min=-a²-1，a＞2时，y_min=3-4a．

点评：配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．