Question

已知M（-5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：
①

y2

16

-

x2

9

=1；
②

x2

4

+

y2

9

=1；          
③

x2

4

-

y2

9

=1；
④y²=4x；
⑤x²+y²=9．
其中为“黄金曲线”的是

 

．（写出所有“黄金曲线”的序号）

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知得P的轨迹是以M（-5，0），N（5，0）为焦点的双曲线的右支，方程为

x2

9

-

y2

16

=1，且x∈[3，+∞），由此能求出“黄金曲线”．

解答： 解：∵M（-5，0），N（5，0）是平面上的两点，存在一点P，使|PM|=|PN|+6，
∴P的轨迹是以M（-5，0），N（5，0）为焦点的双曲线的右支，
方程为

x2

9

-

y2

16

=1，且x∈[3，+∞），
①

y2

16

-

x2

9

=1上不存在x≥3的点P（x，y）满足方程为

x2

9

-

y2

16

=1，故①不是“黄金曲线”；
②

x2

4

+

y2

9

=1上x∈[-2，2]，不存在x≥3的点P（x，y）满足方程为

x2

9

-

y2

16

=1，故②不是“黄金曲线”；    
③

x2

4

-

y2

9

=1上不存在x≥3的点P（x，y）满足方程为

x2

9

-

y2

16

=1，故③不是“黄金曲线”；
④y²=4x中，x≥0，y∈R，与方程为

x2

9

-

y2

16

=1有交点，满足题意，
故④是“黄金曲线”．
⑤x²+y²=9的圆心为（0，0），半径为3，与方程为

x2

9

-

y2

16

=1有交点，满足题意，
故⑤是“黄金曲线”．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查“黄金曲线”的判断，是基础题，解题时要注意圆锥曲线的性质的合理运用．