Question

20．已知函数f（x）=sin⁶x+cos⁶x，给出下列4个结论：
①f（x）的值域为[0，2]；
②f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$；
③f（x）的图象对称轴方程为x=$\frac{kπ}{4}$（k∈Z）；
④f（x）的图象对称中心为（$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4}$，$\frac{5}{8}$）（k∈Z）
其中正确结论的序号是②③④（写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析 利用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）化简y=sin⁶x+cos⁶x，再由二倍角公式化简解析式，
根据余弦函数的值域判断①；由三角函数的周期公式判断②；由余弦函数的对称轴方程和整体思想，求出f（x）的对称轴判断③；由余弦函数的对称中心和整体思想，求出f（x）的对称对称中心判断④．

解答 解：y=sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=1•（sin²x+cos²x）²-3sin²xcos²x
=1-$\frac{3}{4}$sin²2x=$\frac{5}{8}$+$\frac{3}{8}$cos4x，
①、因为-1≤cos4x≤1，所以f（x）的值域为[$\frac{1}{4}$，1]，①不正确；
②、由T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$得，f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，②正确；
③、由4x=kπ（k∈Z）得，f（x）图象的对称轴方程是$x=\frac{kπ}{4}（k∈Z）$，③正确；
④、由$4x=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得，$x=\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4}（k∈Z）$，
则f（x）的图象对称中心为（$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4}$，$\frac{5}{8}$）（k∈Z），④正确，
综上可得，正确的命题是②③④，
故答案为：②③④．

点评 本题考查余弦函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，以及立方和公式的应用，考查整体思想，化简、变形能力