Question

15．设p：对任意的x∈R，不等式x²-ax+a＞0恒成立，q：关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤a}\\{\frac{x+3}{x-2}≥0}\end{array}\right.$的解集非空，如果“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q成立的x的范围，结合p，q一真一假，求出a的范围即可．

解答 解：由已知要使p正确，则必有△=（-a）²-4a＜0，
解得：0＜a＜4，
由$\frac{x+3}{x-2}$≥0，解得：x≤-3或x＞2，
∴要使q正确，则a＞2，
由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
得p和q有且只有一个正确，
若p真q假，则0＜a≤2，
若p假q真，则a≥4，
故a∈（0，2]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质以及解不等式组问题，是一道中档题．