Question

△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a²+c²+

2

ac=b²，
（1）求B；
（2）设cosAcosC=

3

5

2

，

cos(α+A)cos(α+C)

cos2α

=

2

5

，求tanα．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由a²+c²+

2

ac=b²得a²+c²-b²=-

2

ac，根据余弦定理求出cosB的值，再求角B的值；
（2）根据两角和的余弦公式、商的关系、两角和的正弦公式化简

cos(α+A)cos(α+C)

cos2α

=

2

5

，再由内角和定理求出A+C=

π

4

，再求出sin（A+C）的值，根据条件、两角和余弦公式化简cos（A+C）求出sinAsinC的值，把数据代入化简后再求出tanα的值．

解答： 解：（1）由a²+c²+

2

ac=b²得，a²+c²-b²=-

2

ac，
由余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

2

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

3π

4

；
（2）由题意得，

cos(α+A)cos(α+C)

cos2α

=

2

5

，
则

(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosC-sinαsinC)

cos2α

=

2

5

，
（cosA-tanαsinA）（cosC-tanαsinC）=

2

5

化简得，cosAcosC-tanα（cosAsinC+tanαsinAcosC）+tan²αsinAsinC=

2

5

，
即cosAcosC-tanαsin（A+C）+tan²αsinAsinC=

2

5

，①
由B=

3π

4

得，A+C=

π

4

，则sin（A+C）=

2

2

，
cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

2

2

，
把cosAcosC=

3

5

2

代入上式得，sinAsinC=

3

5

2

-

2

2

=

2

10

，
把上面的数据代入①得，

3

5

2

-

2

2

tanα+

2

10

tan2α=

2

5

，
化简得，tan²α-5tanα+4=0，
解得，tanα=1或tanα=4．

点评：本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力．