Question

如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=

1

3

AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=

2

．
（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证：AD∥平面CEF；
（3）求三棱锥A-CFD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE．
（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF．
（3）由V_A-CFD=V_C-AFD，利用等积法能求出三棱锥A-CFD的体积．

解答： （1）证明：依题AD⊥BD，
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，
∵BD∩CE=E，
∴AD⊥平面BCE．
（2）证明：Rt△BCE中，CE=

2

，BC=

6

，∴BE=2，
Rt△ABD中，AB=2

3

，AD=

3

，∴BD=3．
∴

BF

BA

=

BE

BD

=

2

3

．
∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，
∴AD∥平面CEF．
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，
且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．
∴S_△FAD=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
∵CE⊥平面ABD，
∴V_A-CFD=V_C-AFD=

1

3

S△FAD•CE=

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．