Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

an

an+1

，记数列{b_n}的前n和为T_n，证明：-

1

3

＜Tn-

n

2

＜0．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由题意S_n=2a_n-n，①，S_n+1=2a_n+1-n-1，②，相减得到a_n+1=2a_n+1，继而得到数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，问题得以解决；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

2n-1

2n+1-1

，转化为b_n-

1

2

=

-1

2n+2-2

，表示出T_n-

n

2

=-（

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

+

1

2n+2-2

），根据放缩法得以证明．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，①，
∴S_n+1=2a_n+1-n-1，②，
②-①得a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1
（Ⅱ）∵b_n=

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

，
∴b_n-

1

2

=

2n-1

2n+1-1

-

1

2

=

-1

2n+2-2

，
∴T_n-

n

2

=-（

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

+

1

2n+2-2

）＜0，
∴T_n-

n

2

＜0，
∴

1

2n+2-2

=

1

2n-2+3•2n

≤

1

3×2n

，
∴T_n-

n

2

＞-

1

3

（

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

）=-

1

3

+

1

3×2n

＞-

1

3

，
∴-

1

3

＜Tn-

n

2

＜0．

点评：本题考查学生会根据已知条件推出数列的通项公式，灵活运用数列的递推式得到数列的前n项的和，以及放缩法证明不等式成立，培养了学生的转化能力和计算能力，属于中档题