Question

已知数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=

2n+2

n

a_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）证明：数列{

an

n

}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由题意a_n+1=

2n+2

n

a_n，转化为

an+1

n+1

=2•

an

n

，问题得以证明
（Ⅱ）得到a_n的通项公式，表示出前n项的和S_n，两边都乘以2，相减得到S_n的通项即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=

2n+2

n

a_n，
∴

an+1

n+1

=2•

an

n

，
∵

a1

1

=1，
∴数列{

an

n

}是以1为首项，以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n•2^n-1，
∴S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，
∴2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-2+2^n-1-n×2ⁿ，
∴S_n=-（1+2¹+2²+…+2^n-2+2^n-1）+n×2ⁿ=-

1×(1-2n)

1-2

+n×2ⁿ=1+（n-1）2ⁿ．

点评：本题考查学生会根据已知条件推出数列的通项公式，灵活运用数列的递推式得到数列的前n项的和．