Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E、F分别是PB，AB的中点．
（1）求证：CD∥面PAB；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）求三棱锥B-DEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得CD∥AB，由此能证明CD∥面PAB．
（2）由已知得EF∥PA，CD⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥EF．
（3）由V_B-DEF=V_F-BDE，利用等积法能求出三棱锥B-DEF的体积．

解答： （1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴CD∥AB，
∵CD不包含于平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥面PAB．
（2）证明：∵E、F分别是PB，AB的中点，
∴EF∥PA，
∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，
又PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA，
∴CD⊥EF．
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，
E、F分别是PB，AB的中点，
∴F到平面BDE的距离h=

1

2

PD=1，
S_△BDE=

1

4

S正方形ABCD=

1

4

×22=1，
∴V_B-DEF=V_F-BDE=

1

3

×h×S△BDE=

1

3

×1×1=

1

3

．
∴三棱锥B-DEF的体积为

1

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．