Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

3

2

（a_n-1）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n=

3

2

（a_n-1），利用S₁=a₁，a_n=S_n-S_n-1，推导出{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a_n=3ⁿ，b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，推导出

1

bn

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

3

2

（a_n-1），
∴当n=1时，S₁=a₁=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)
=

3

2

an-

3

2

an-1，
整理，得a_n=3a_n-1，
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=3ⁿ，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=1+2+3+…+n
=

n(n-1)

2

，
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．