Question

用至少2种方法求函数y=

sinx

cosx-2

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：三角函数的求值

分析：本题第1种方法可以利用三角函数的有界性，即-1≤sinα≤1．
第2种方法是利用万能公式，将正弦、余弦函数化为同名三角函数，再用换元法就可以．

解答： 解：方法1：
∵cosx-2≠0，
∴y（cosx-2）=sinx
?sinx-ycosx=-2y
?

1+y2

sin(x+θ)=-2y
?sin(x+θ)=-

2y

1+y2

，∵sin（x+θ）∈[-1，1]，
∴-1≤-

2y

1+y2

≤1，解得-

3

3

≤y≤

3

3

，
∴函数的值域为：[-

3

3

，

3

3

]．
方法2：y=

2tan x 2 1+tan2 x 2

1-tan2 x 2 1+tan2 x 2 -2

=-

2tan x 2

1+3tan2 x 2

，令t=tan

x

2

（t∈R），则y=-

2t

1+3t2

，
当t=0时，y=0，
当t≠0时，y=-

2

3t+ 1 t

，∵3t+

1

t

∈(-∞，-2

3

]∪[2

3

，+∞)，y∈[-

3

3

，0)∪(0，

3

3

]．
∴函数的值域为：[-

3

3

，

3

3

]．
故答案为：[-

3

3

，

3

3

]．

点评：三角函数求值域问题常是借助三角函数的有界性来解决．也可以利用万能公式化异名为同名来解决．属于中档题．