Question

设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数记为f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“上凸函数”，已知f（x）=

1

12

x⁴-

1

6

mx³-

3

2

x²，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“上凸函数”，则区间（a，b）可以是（　　）

• A、（-1，3）
• B、（0，1）
• C、（-3，3）
• D、（-3，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,导数的综合应用

分析：利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可

解答： 解：根据题意得，f′(x)=

1

3

x3-

1

2

mx2-3x，
∴f″（x）=x²-mx-3，
∵f″（x）＜0恒成立
∴x²-mx-3＜0，
∴mx＞x²-3恒成立．
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．
当x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2，
∴x-

3

x

＜-2，从而解得0＜x＜1；
当x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，
∴x-

3

x

＞2，从而解得-1＜x＜0．
故选B．

点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力．