Question

15．设0＜x＜1，a，b都为大于零的常数，则$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{1-x}$的最小值为（　　）

• A． （a-b）²
• B． （a+b）²
• C． a²b²
• D． a²

Answer 1

分析 由于[x+（1-x）]=1，$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{1-x}$乘以[x+（1-x）]，然后展开由基本不等式求最值即可．

解答 解：0＜x＜1，可得1-x＞0，
$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{1-x}$=（$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{1-x}$）[x+（1-x）]=a²+b²+$\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}$+$\frac{x{b}^{2}}{1-x}$
由基本不等式可得a²+b²+$\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}$+$\frac{x{b}^{2}}{1-x}$≥a²+b²+2$\sqrt{\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}•\frac{x{b}^{2}}{1-x}}$
=a²+b²+2$\sqrt{{a}^{2}{b}^{2}}$=a²+b²+2ab=（a+b）²
当且仅当$\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}$=$\frac{x{b}^{2}}{1-x}$，即x=$\frac{a}{a+b}$时，取等号．
故选：B．

点评 本题为基本不等式求最值，给要求的式子乘以[x+（1-x）]是解决问题的关键，属中档题．