Question

已知椭圆G：

x2

3

+y²=1，过P（0，2）的直线l交椭圆G于C、D两点，求

|PC|

|PD|

的范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则

|PC|

|PD|

=|

x1

x2

|=|λ|，分类讨论，直线斜率存在时，设方程为y=kx+2，代入椭圆方程，利用韦达定理，可得λ+

1

λ

=

10k2-2

3k2+1

=

10

3

-

16

3

•

1

3k2+1

，结合△=（12k）²-36（3k²+1）＞0，可得k²＞1，即可得出结论．

解答： 解：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则

|PC|

|PD|

=|

x1

x2

|=|λ|，
直线斜率存在时，设方程为y=kx+2，代入椭圆方程可得（3k²+1）x²+12kx+9=0，
△=（12k）²-36（3k²+1）＞0，可得k²＞1
∴x₁+x₂=-

12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，
∴x₁²+x₂²=

90k2-18

(3k2+1)2

，
∴λ+

1

λ

=

10k2-2

3k2+1

=

10

3

-

16

3

•

1

3k2+1

，
∴2＜λ+

1

λ

＜

10

3

，
∴

1

3

＜λ＜3且λ≠1，
斜率不存在时，

|PC|

|PD|

=

1

3

，
∴

1

3

≤λ＜3且λ≠1．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．