Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₁=5，且S_n+1=S_n+2a_n=2ⁿ+2（n∈N₊）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）设b_n=

an+λ

2n

，若实数λ使得数列{b_n}为等差数列，求λ的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把已知递推式变形，得到an+1=2an+2n+2，然后最直接把a₁=5代入依次求a₂，a₃的值；
（2）由an+1=2an+2n+2，得到

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

+

1

2n

，把n依次取1，2，3，…，n后累加，求出数列{a_n}的通项公式，代入b_n=

an+λ

2n

，由等差数列通项公式的特点求得λ的值．

解答： 解：（1）由S_n+1=S_n+2a_n+2ⁿ+2，得
S_n+1-S_n=2a_n+2ⁿ+2，即an+1=2an+2n+2，

∵a₁=5，
∴a2=2a1+21+2=2×5+4=14．
a3=2a2+22+2=2×14+6=34；
（2）由（1）知，an+1=2an+2n+2，
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

+

1

2n

，
则

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

+

1

2n-1

（n≥2），
由

a2

22

-

a1

21

=

1

2

+

1

2

，

a3

23

-

a2

22

=

1

2

+

1

22

，

a4

24

-

a3

23

=

1

2

+

1

23

，
…

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

+

1

2n-1

（n≥2），

累加得：

an

2n

-

a1

2

=

1

2

(n-1)+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)，
即

an

2n

=

5

2

+

1

2

(n-1)+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

，
解得：an=(3+

n

2

-

1

2n-1

)•2n（n≥2）．
a₁=5适合上式，
∴an=(3+

n

2

-

1

2n-1

)•2n．
∴b_n=

an+λ

2n

=

(3+ n 2 - 1 2n-1 )•2n+λ

2n

=3+

n

2

-

1

2n-1

+

λ

2n

．
要使数列{b_n}为等差数列，则

λ

2n

-

1

2n-1

=

λ-2

2n

=0，即λ=2．

点评：本题考查数列递推式，考查了利用类加法求数列的通项公式，训练了等差关系的确定，是中档题．