Question

求函数y=（cosx-

1

2

）²+2在x∈[

π

3

，

2

3

π]的值域，并写出取得最值时的x的取值集合．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用换元法令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2

3

π]，则t∈[-

1

2

，

1

2

]，转化成关于t的二次函数z在闭区间上求值域即可．

解答： 解：令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2

3

π]，则t∈[-

1

2

，

1

2

]，
则y=（t-

1

2

）²+2，t∈[-

1

2

，

1

2

]
由于y=（t-

1

2

）²+2在[-

1

2

，

1

2

]上为减函数，
所以函数的值域为：[2，3]，
当t=-

1

2

，即cosx=-

1

2

，即x=

2

3

π，y_max=3；
当t=

1

2

，即cosx=

1

2

，即x=

π

3

，y_min=2．

点评：本题主要考查了函数的值域，以及余弦函数的单调性等有关知识，属于基础题．