题目内容
在△ABC中，顶点A（-1，0），B（1，0），动点D、E满足：
①
+
+
=
；
②|
|=
|
|=
|
|；
③
与
共线．
（1）求△ABC顶点C的轨迹方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同的交点M、N，就一定有
•
=0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
①
| DA |
| DB |
| DC |
| 0 |
②|
| EC |
| 3 |
| EA |
| 3 |
| EB |
③
| DE |
| AB |
（1）求△ABC顶点C的轨迹方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同的交点M、N，就一定有
| OM |
| ON |
考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设C（x，y），求出D，E的坐标，利用|
|=
|
|得△ABC顶点C的轨迹方程；
（2）分类讨论，设其方程为y=kx+m，代入椭圆的方程，利用
•
=0，直线MN：y=kx+m与圆x2+y2=r2相切，从而可得结论．
| EC |
| 3 |
| EA |
（2）分类讨论，设其方程为y=kx+m，代入椭圆的方程，利用
| OM |
| ON |
解答：
解：（1）设C（x，y），由
+
+
=
得，动点D的坐标为（
，
）；
由|
|=|
|得，动点E在y轴上，再结合
与
共线共线，得动点E的坐标为（0，
）；
由|
|=
|
|得
=
•
，整理得
+
=1．
因为△ABC的三个顶点不共线，所以y≠0，
故△ABC顶点C的轨迹方程为得
+
=1（y≠0）．
（2）假设存在这样的圆，其方程为x2+y2=r2（r＞0），
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆的方程，
得（k2+9）x2+2kmx+m2-27=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=
x1由
•
=0，得x1x2+y1y2=0，
∴得m2=
(k2+1)．…9分
又直线MN：y=kx+m与圆x2+y2=r2相切知：r=
．
所以r2=
，即存在圆x2+y2=
满足题意；
当直线MN的斜率不存在时，可得x1=x2=
，y1=-y2=
满足
•
=0．
综上所述：存在圆x2+y2=
满足题意．
| DA |
| DB |
| DC |
| 0 |
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
由|
| EA |
| EB |
| DE |
| AB |
| y |
| 3 |
由|
| EC |
| 3 |
| EA |
x2+(y-
|
| 3 |
1+
|
| y2 |
| 27 |
| x2 |
| 3 |
因为△ABC的三个顶点不共线，所以y≠0，
故△ABC顶点C的轨迹方程为得
| y2 |
| 27 |
| x2 |
| 3 |
（2）假设存在这样的圆，其方程为x2+y2=r2（r＞0），
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆的方程，
得（k2+9）x2+2kmx+m2-27=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
| 2km |
| k2+9 |
| m2-27 |
| k2+9 |
x1由
| OM |
| ON |
∴得m2=
| 27 |
| 10 |
又直线MN：y=kx+m与圆x2+y2=r2相切知：r=
| |m| | ||
|
所以r2=
| 27 |
| 10 |
| 27 |
| 10 |
当直线MN的斜率不存在时，可得x1=x2=
|
|
| OM |
| ON |
综上所述：存在圆x2+y2=
| 27 |
| 10 |
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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}是等差数列，则a8=（ ）
| 1 |
| an+1 |
A、
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、
|