Question

若f（x）=

2011

1-x

-

2011

1+x

的定义域是A，g（x）=

2013

1+a-x

-

2013

x -2a

（a＜1）的定义域为B．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,集合

分析：对于（1）需要先求f（x）定义域，再根据定义判断奇偶性．
对于（2），求出函数g（x）的定义域，判断两个函数的定义域的包含关系即可．

解答： 解：（1）由f(x)=

2011

1-x

-

2011

1+x

的定义域应为：

1-x＞0 1+x＞0

，得-1＜x＜1，∴A=（-1，1）
f(-x)=

2011

1+x

-

2011

1-x

=-（

2011

1-x

-

2011

1+x

）=-f（x）
f（-x）=f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）函数g（x）=

2013

1+a-x

-

2013

x -2a

的定义域应为：

1+a-x＞0 x＞0 x≠4a2

?

0＜x＜a+1 x≠4a2(-1＜a＜1)

1°若a+1≥4a²?

1- 17

8

≤a≤

1+ 17

8

，故0＜4a²＜a+1
故函数的定义域应为：（0，4a²）∪（4a²，a+1），∴B=（0，4a²）∪（4a²，a+1）
要使B⊆A，只要a+1≤1，∴a≤0，∴a的取值范围是[

1- 17

8

，0]
2°若a+1＞4a²，?a＜

1- 17

8

或a＞

1+ 17

8

，此时B=（0，a+1），要使B⊆A，只要a+1≤1，∴a≤0，
∴a的取值范围是（-1，

1- 17

8

）
综上，a的取值范围是（-1，0]

点评：本题考查了函数的定义域，不等式的解法，集合的包含关系，属于高档题．