Question

是否存在实数m，使得f（x）=-cos²x+2mcosx+m²+4m-3的最大值为3m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：将函数f（x）进行化简，利用换元法转化为一元二次函数即可得到结论．

解答： 解：f（x）=-（cosx-m）²+2m²+4m-3，
设t=cosx，则-1≤t≤1，
则函数等价为g（t）=-（t-m）²+2m²+4m-3，
假设存在满足条件的m．
ⅰ）当m≥1时，函数g（t）的最大值为g（1）=m²+6m-4，
令m²+6m-4=3m，得m=1（m=-4舍去），
ⅱ）当m≤-1时，函数g（t）的最大值为g（-1）=m²+2m-4，
令m²+2m-4=3m，得m=

1- 17

2

（或m=

1+ 17

2

舍去）
ⅲ）当-1＜m＜1时，函数g（t）的最大值为g（m）=2m²+4m-3，
令2m²+4m-3=3m，得m=-

3

2

（舍去）m=1（舍去），
综上，存在m使得f（x）的最大值为3m．m=1或m=

1- 17

2

．

点评：本题主要考查函数的最值的计算，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用二次函数的单调性是解决本题的关键．